Question

已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D，在劣弧上取一點E使∠EBC = ∠DEC，延長BE依次交AC于G，交⊙O于H.

(1)求證：AC⊥BH

(2)若∠ABC= 45°，⊙O的直徑等于10，BD =8，求CE的長.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）連結(jié)AD                              (1分)

            ∵∠DAC = ∠DEC  ∠EBC = ∠DEC

            ∴∠DAC = ∠EBC                   (2分)

            又∵AC是⊙O的直徑 ∴∠ADC=90°     (3分)

              ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA = 90°

              ∴∠BGC=180°–（∠EBC+∠DCA) = 180°–90°=90°

              ∴AC⊥BH                         （5分）

          （2）∵∠BDA=180°–∠ADC = 90°  ∠ABC = 45°  ∴∠BAD = 45°

               ∴BD = AD

               ∵BD = 8  ∴AD =8                 （6分）

               又∵∠ADC = 90°    AC =10

                 ∴由勾股定理 DC== = 6

                 ∴BC=BD+DC=8+6=14               (7分)

                又∵∠BGC = ∠ADC = 90°    ∠BCG =∠ACD

                  ∴△BCG∽△ACD

                  ∴ =

                  ∴ =   ∴CG =              (8分)

                  連結(jié)AE   ∵AC是直徑  ∴∠AEC=90°    又因 EG⊥AC

                  ∴ △CEG∽△CAE   ∴ =   ∴CE²=AC · CG = ´ 10 = 84

                  ∴CE = = 2                （10分）

 

【解析】略