Question

14．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過A作AC⊥x軸交拋物線y=x²+2x+2于點(diǎn)C，以AC為邊作等邊△ABC，高AD的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1），再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，由于AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，所以當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為1，從而得到AD的最小值．

解答 解：∵y=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1），
∵△ABC為等邊三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∴當(dāng)AC最短時(shí)，AD最小，
而AC⊥x軸，
∴AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，
當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為1，
∴AD的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．