Question

20．如圖所示，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時(shí)有OC∥PE
（1）求證：PC=OC；
（2）若弦CD=12，求tan∠OPD的值．

Answer 1

分析 （1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由OC∥PE可得∠COP=∠APO，得出∠CPO=∠COP，即可得出結(jié)論．
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，如圖2．根據(jù)垂徑定理可得CH=DH=6，從而可求出PH，在Rt△CHO中，運(yùn)用勾股定理可求出OH，然后運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義就可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵OC∥PE，
∴∠COP=∠APO，
∴∠CPO=∠COP，
∴PC=OC．
（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，如圖所示：
根據(jù)垂徑定理可得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=6，
∴PH=PC+CH=OC+CH=10+6=16．
在Rt△CHO中，OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴tan∠OPD=$\frac{OH}{PH}$=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出OH是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．