Question

如圖，正方形ABCD，點P是對角線AC上一點，連接BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=2，CQ=5，則正方形ABCD的面積為________．

Answer 1

81
分析：作PE⊥AD與E，過點P作FG⊥CD于G，交AB于F，根據已知條件以及正方形ABCD的性質，易證明四邊形AEPF是正方形，則其邊長是2，易證得△PQG≌△BPF，則QG=PF=2，則大正方形的邊長是9，進而可得其面積．
解答：解：作PE⊥AD與E，過點P作PF⊥AB于F，延長FP交CD于G，
∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°=∠PEA=∠PFA，
∴PE=PF，
∴四邊形AEPF是正方形，
∴AE=PE=PF=AF，
∵AP=2，由勾股定理得：AE²+PE²=，
∴AE=PE=PF=AF=2，
∴PG=BF，且∠PFB=∠PGQ=90°；
∵∠FBP+∠FPB=90°，
∴∠FBP=∠GPQ，
在△PQG和△BPF中
，
∴△PQG≌△BPF，則QG=PF=2，
∴AB=BC=CD=2+2+5=9，
則大正方形的邊長是9，即面積是81；故答案為81．
點評：此題主要是通過作輔助線構造正方形和全等三角形，然后求得大正方形的邊長．