Question

如圖AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動(不與點M重合)．點Ｑ在半圓Ｏ上運動，且總保持PQ＝PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C． (1) 當∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明； (2) 當QP⊥AB時，△QCP的形狀是________三角形； (3) 由(1)(2)得出的結論，請進一步猜想當點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是________三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結QO，由QP=OP得∠PQO=∠POQ，又由∠QPC=60°，可得∠QOC=30°，由∠CQO=90°得∠QCP=60°，從而∠QCP=∠QPC=∠CQP=60°，即△CQP為等邊三角形．或方法二：由PQ=PO得∠PQO=∠POQ，由∠PQO＋∠PQC=∠QCO＋∠QOC=90°得∠PCQ=∠PQC，所以PQ=PC，得△PCQ為等腰三角形，又由∠QPC=60°，得△PCQ為等邊三角形．(2)等腰直角三角形(3)等腰三角形