Question

19．觀察下列式子．猜想規(guī)律并完成問題：
1²+2²＞2×1×2；
（$\sqrt{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）²＞2×$\sqrt{2}×\frac{1}{2}$
（-2）²+3²＞2×（-2）×3；
（$\sqrt{8}$）²+（$\sqrt{2}$）²＞2×$\sqrt{8}$×$\sqrt{2}$
…
（1）a²+b²＞2ab（a≠b）；
（2）根據(jù)上述規(guī)律，試求出代數(shù)式x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中給出的式子，可以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，從而可以得到a²+b²與2ab的關(guān)系；
（2）根據(jù)上面的規(guī)律，通過討論x≠$\frac{1}{x}$和x=$\frac{1}{x}$，可以得到代數(shù)式x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值．

解答 解：（1）由題目可得，a≠b，
a²+b²＞2×a×b=2ab，
即a²+b²＞2ab．
故答案為：＞；
（2）根據(jù)上面的規(guī)律可知，當(dāng)x≠$\frac{1}{x}$，x＞0時，x+$\frac{1}{x}$＞2×$\sqrt{x}×\frac{1}{\sqrt{x}}$=2，
當(dāng)$x=\frac{1}{x}$，x＞0時，得x=1，則$x+\frac{1}{x}=1+1=2$，
即代數(shù)式x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值是2．

點評 本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求得所要求得問題答案．