Question

7．已知⊙O為△ABC的外接圓，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D．
（1）如圖1，求證：BD=ED；
（2）如圖2，AO為⊙O的半徑，若BC=6，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）連接BE，由三角形的內(nèi)心得出∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，由圓周角定理得出∠DBC=∠CAD，得出∠DBC=∠BAD，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠DBE=∠DEB，即可得出結(jié)論．
（2）連接OB，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得出∠BAD=∠CAD，由圓周角定理得出$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，由垂徑定理得出BF=$\frac{1}{2}$BC=3，由圓周角定理得出∠BOD=2∠BAD=∠BAC，由三角函數(shù)得出OB=5，再由勾股定理求出OF，得出DF，再由勾股定理求出BD，得出ED，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接BE，如圖1所示：
∵E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，
∵∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴BD=ED；
（2）解：連接OB，如圖2所示：
∵點E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=3，∠BOD=2∠BAD=∠BAC，
∵AE過點O，
∴AD⊥BC，
∴∠EFB=90°，
∴sin∠BAC=sin∠BOD=$\frac{BF}{OB}$=$\frac{3}{5}$，
∴OB=5，
∴OD=5，
∴OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DF=OD-OF=1，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由（1）得：ED=BD=$\sqrt{10}$，
∴OE=OD-ED=5-$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)心性質(zhì)、圓周角定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、垂徑定理、三角函數(shù)等知識；本題有一定難度，特別是（2）中，需要運用垂徑定理和兩次運用勾股定理才能得出結(jié)果．