Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的切線，A，C是切點(diǎn)，PB交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求證：∠APC=2∠BDC；
（2）若CD∥AB，求sin∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）連接AC、OP，交于點(diǎn)E，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出OA⊥PA，OP⊥AC，∠OPA=∠OPC=$\frac{1}{2}$∠APC，根據(jù)圓周角定理得出∠BDC=∠BAC，即可證得結(jié)論；
（2）連接AD，CB，過點(diǎn)P作PE⊥CB交BC的延長(zhǎng)線于E，由PA、PC是⊙O的切線，得到PA=PC，∠3=∠5，∠1=∠2，由于AB∥CD，得到∠ABC=∠DCE，推出∠3=∠4，∠5=∠4，通過△ADP≌△CPE，得到AD=CE，PD=PE，設(shè)PE=PD=a，CE=BC=AD=b，由射影定理得 2a²=b²，由勾股定理得PA=PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$a，于是得到結(jié)果sin∠BDC=sin∠5=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）連接AC、OP，交于點(diǎn)E，如圖1，
∵AB是⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OP⊥AC，∠OPA=∠OPC=$\frac{1}{2}$∠APC，
∵∠AOP=∠EOA，∠AEO=∠PAO=90°，
∴∠BAC=∠OPA=$\frac{1}{2}$∠APC，
∴∠APC=2∠BAC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠APC=2∠BDC；

（2）連接AD，BC，過點(diǎn)P作PE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖2，
∵PA、PC是⊙O的切線，
∴PA=PC，∠3=∠5，∠1=∠2，
∵CD∥AB，
∴∠ABC=∠DCE，
∴∠3=∠4，
∴∠5=∠4，
在△ADP與△CEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=PEC=90°}\\{∠5=∠4}\\{PA=PC}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CEP，
∴AD=CE，PD=PE，
∵AB∥CD，
∴AD=BC，
設(shè)PE=PD=a，CE=BC=AD=b，
∵∠BAP=90°，
由射影定理得：AD²=PD•BD，
∴BD=$\frac{A{D}^{2}}{PD}$=$\frac{^{2}}{a}$，
∴PB=$\frac{^{2}}{a}$+a，BE=2b，
在Rt△PBE中，（2b）²+a²=（$\frac{^{2}}{a}$+a）²，
∴2a²=b²，
在Rt△PCE中．PA=PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$a
∴sin∠5=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠3，
∵∠3=∠5，
∴sin∠BDC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．