Question

已知直線AC：y=

3

4

x+3與直線BC：y=-

4

3

x+8相交于點(diǎn)C，分別交x軸于點(diǎn)A、B，P為x軸上的一點(diǎn)，設(shè)P（m，0），以點(diǎn)P為圓心作圓．
（1）若-4＜m＜6．當(dāng)m=

 

時(shí)，⊙P同時(shí)與AC、BC相切；
（2）設(shè)⊙P的半徑為3，當(dāng)m=

 

時(shí)，⊙P與直線AC、直線BC中的一條相切．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用三角函數(shù)得出MP=

3

5

AP與PN=

4

5

PB，由半徑相等得出AP與PB的關(guān)系，由AP+PB=10，得出PB的長，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求出m．
（2）根據(jù)⊙P與直線AC、直線BC中的一條相切，分為四種情況，與AC相切的兩種，與BC相切的兩種，結(jié)合（1）中的三角函數(shù)分別求出m的值．

解答：
解：（1）如圖1，AC與⊙P切于點(diǎn)M，BC與⊙P切于點(diǎn)N，連接PM，PN，
∵直線y=

3

4

x+3與x軸交于點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)F，
∴A的坐標(biāo)為（-4，0），F(xiàn)的坐標(biāo)為（0，3）
∴在RT△AMP中，AF=

AO2+OF2

=

42+32

=5，
∴sin∠FAO=

FO

AF

=

3

5

，
∴sin∠MAF=

MP

AP

=

3

5

，即MP=

3

5

AP，
∵直線y=-

4

3

x+8與x軸交于點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)E，
∴B的坐標(biāo)為（6，0），F(xiàn)的坐標(biāo)為（0，8）
∴在RT△EOB中，BE=

OB2+OE2

=

62+82

=10，
∴sin∠OBE=

EO

BE

=

8

10

=

4

5

，
∴sin∠PBN=

PN

PB

=

4

5

，即PN=

4

5

PB，
∵M(jìn)P=PN，
∴

3

5

AP=

4

5

PB，
∵AP+PB=10，
∴BP=

30

7

，
∴OP=OB-BP=6-

30

7

=

12

7

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

12

7

，0）
∴m=

12

7

，
故答案為：

12

7

．
（2）①如圖2，⊙P與AC切于點(diǎn)M，連接PM，

由（1）知sin∠FAO=

FO

AF

=

3

5

，
∵∠PMA=90°
∴sin∠PAM=

PM

AP

=

3

5

，
∴PM=3，
∴AP=5，OP=AO+AP=9，
∴P的坐標(biāo)為（-9，0），
∴m=-9，
②如圖3，⊙P與AC切于點(diǎn)M，連接PM，

由（1）知sin∠FAO=

FO

AF

=

3

5

，
∵∠PMA=90°
∴sin∠PAM=

PM

AP

=

3

5

，
∴PM=3，
∴AP=5，OP=AP-AO=1，
∴P的坐標(biāo)為（1，0），
∴m=1，
③如圖4，⊙P與BC切于點(diǎn)N，連接PN，

由（1）知sin∠OBE=

EO

BE

=

8

10

=

4

5

，
∵∠PNB=90°，
∴sin∠PBN=

NP

PB

=

4

5

，
∴NP=3，
∴PB=

15

4

∴OP=OB-PB=6-

15

4

=

9

4

，
④如圖5，⊙P與BC切于點(diǎn)N，連接PN，

由（1）知sin∠OBE=

EO

BE

=

8

10

=

4

5

，
∵∠PNB=90°，
∴sin∠PBN=

NP

PB

=

4

5

，
∴NP=3，
∴PB=

15

4

∴OP=OB-PB=6+

15

4

=

39

4

，
故答案為：-9，1，

9

4

，

39

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題涉及圓的切線，一次函數(shù)及三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的不同位置運(yùn)用三角函數(shù)求解．