Question

【題目】古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，…這樣的數(shù)稱(chēng)為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16，…這樣的數(shù)稱(chēng)為“正方形數(shù)”.

（1）第5個(gè)“三角形數(shù)”是 ，第n個(gè)“三角形數(shù)”是 ，第5個(gè)“正方形數(shù)”是 ，第n個(gè)“正方形數(shù)”是 .

（2）除“1”以外，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)一個(gè)既是“三角形數(shù)”，又是“正方形數(shù)”的數(shù) .

（3）經(jīng)探究我們發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看做兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和. 例如：①4=1+3；②9=3+6；③16=6+10；④ ；⑤ ；…請(qǐng)寫(xiě)出上面第4個(gè)和第5個(gè)等式.

（4）在（3）中，請(qǐng)?zhí)骄?/span>n2= + 。

Answer 1

【答案】（1）15，，25，n2；（2）36；

（3）25=10+15，36=15+21；

（4）見(jiàn)解析

【解析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)三角形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上5，即為15，第n個(gè)“三角形數(shù)”等于第（n﹣1）個(gè)“三角形數(shù)”加上n，即為1+2+3+…+n，計(jì)算即可；第5個(gè)“正方形數(shù)”是52，第n個(gè)正方形數(shù)是n2；

（2）根據(jù)①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4個(gè)等式為第5個(gè)三角形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上第5個(gè)三角形數(shù)，第5個(gè)等式為第6個(gè)三角形數(shù)等于第5個(gè)三角形數(shù)加上第6個(gè)三角形數(shù)；

（3）第n個(gè)等式為第（n+1）個(gè)“三角形數(shù)”等于第n個(gè)“三角形數(shù)”加上第（n+1）個(gè)“三角形數(shù)”．

解：（1）15，，25，n2；（2）1+2+3+4+5+6+7+8=36，62=36，所以36是三角形數(shù)，也是正方形數(shù)

（3）25=10+15，36=15+21；

（4），

∵右邊=

=

=n2+2n+1=（n+1）2=左邊，

∴原等式成立．

故答案為15，，25，n2；25=10+15，36=15+21．