Question

16．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O切BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且AD=BD．
（1）求證：DE∥AB；
（2）如圖2，連接OC，求cos∠ACO的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD、OE，如圖1，根據(jù)切線性質(zhì)得OD⊥BC，則OD∥AC，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，則∠1=∠2，再利用AD=BD得到∠1=∠B，所以∠1=∠2=∠B，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠1=∠2=∠B=30°，于是可判斷△OAE為等邊三角形，得到AE=OE，再判斷四邊形AEDO為平行四邊形，從而得到DE∥AB；
（2）作OH⊥AE于H，如圖2，則AH=HE，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△AOH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，易得四邊形ODCH為矩形，則CH=OD=r，再利用勾股定理計(jì)算出OC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$r，然后根據(jù)余弦的定義求解．

解答 （1）證明：連結(jié)OD、OE，如圖1，
∵BC為切線，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵AD=BD，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2=∠B，
∵∠1+∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴△OAE為等邊三角形，
∴AE=OE，
∴AE=OD，
∵AE∥OD，
∴四邊形AEDO為平行四邊形，
∴DE∥AB；
（2）解：作OH⊥AE于H，如圖2，則AH=HE，
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△AOH中，∵∠OAH=60°，
∴AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$r，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
易得四邊形ODCH為矩形，
∴CH=OD=r，
在Rt△OCH中，OC=$\sqrt{O{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}r）^{2}+{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$r，
∴cos∠HCO=$\frac{CH}{CO}$=$\frac{r}{\frac{\sqrt{7}r}{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即cos∠ACO=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義．