Question

19．如圖1，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖2，連接OD交AC于點G，若$\frac{CG}{GA}$=$\frac{3}{4}$，求sin∠E的值．

Answer 1

分析 （1）連結OC，如圖1，先利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，再判斷OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，則有∠1=∠2，于是可判斷AC平分∠DAB；
（2）連結OC，如圖2，先證明△OCG∽△DAG得到$\frac{OC}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，則設OC=3x，則AD=4x，再證明△EOC∽△EAD，利用相似比可表示出EO=9x，然后在Rt△OCE中利用正弦的定義求sin∠E的值．

解答 （1）證明：連結OC，如圖1，
∵CD為切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：連結OC，如圖2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
設OC=3x，則AD=4x，
∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴EO：EA=OC：AD，即EO：（EO+3x）=3x：4x，
∴EO=9x，
在Rt△OCE中，sin∠E=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{3x}{9x}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了垂徑定理和矩形的性質(zhì)．解決本題的關鍵是構建相似三角形，利用相似比表示線段之間的關系．