Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，點P是BC邊上的動點（點P與點B、C不重合），過動點P作PD∥BA交AC于點D．
（1）若△ABC與△DAP相似，則∠APD是多少度？
（2）試問：當PC等于多少時，△APD的面積最大？最大面積是多少？
（3）若以線段AC為直徑的圓和以線段BP為直徑的圓相外切，求線段BP的長．

Answer 1

分析：（1）當△ABC與△DAP相似時，應有∠APD=∠B或∠APD=∠C，即∠APD為30°或60°．
（2）設(shè)PC=x，由PD∥BA，得∠BAC=∠PDC=90°，∴AC=BC•cos60°=12，CD=x•cos60°=

1

2

x，
∴AD=12-

1

2

x，而PD=x•sin60°=

3

2

x，∴S_△APD=

1

2

PD•AD把PD，AD的值代入，得到S_△APD=-

3

8

（x-12）²+18

3

．
∴PC等于12時，△APD的面積最大，最大面積是18

3

．
（3）設(shè)以BP和AC為直徑的圓心分別為O₁、O₂，過O₂作O₂E⊥BC于點E，設(shè)⊙O₁的半徑為x，則BP=2x，AC=12，
∴O₂C=6，∴CE=6•cos60°=3．∴由勾股定理得，O₂E=

62-32

=3

3

，O₁E=21-x，
由于⊙O₁和⊙O₂外切，則圓心距O₁O₂=x+6．在Rt△O₁O₂E中，有O₁O₂²=O₂E²+O₁E²，即（x+6）²=（21-x）²+（3

3

）²，求解得到x的值，進而求得BP的值．

解答：解：（1）當△ABC與△DAP相似時，
∠APD的度數(shù)是60°或30°．

（2）設(shè)PC=x，
∵PD∥BA，∠BAC=90°，
∴∠PDC=90°，
又∵∠C=60°，
∴AC=24•cos60°=12，
CD=x•cos60°=

1

2

x，
∴AD=12-

1

2

x，而PD=x•sin60°=

3

2

x，
∴S_△APD=

1

2

PD•AD=

1

2

•

3

2

x•（12-

1

2

x）=-

3

8

（x²-24x）
=-

3

8

（x-12）²+18

3

．
∵a=-

3

8

＜0，
∴拋物線的開口方向向下，有最大值，
即當x=12時，最大值是18

3

，
∴PC等于12時，△APD的面積最大，最大面積是18

3

．

（3）連接O₁O₂，設(shè)以BP和AC為直徑的圓心分別為O₁、O₂，過O₂作O₂E⊥BC于點E，
設(shè)⊙O₁的半徑為x，則BP=2x，顯然，AC=12，
∴O₂C=6，
∴CE=6•cos60°=3，
∴O₂E=

62-32

=3

3

，O₁E=24-3-x=21-x，
又∵⊙O₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=x+6，
在Rt△O₁O₂E中，有O₁O₂²=O₂E²+O₁E²，
∴（x+6）²=（21-x）²+（3

3

）²，
解得：x=8，
∴BP=2x=16．

點評：本題利用了相似三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念，勾股定理，三角形的面積公式，建立一元二次方程求解線段的長，有一定的綜合性．