Question

（2013•鷹潭模擬）某校九年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：
如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小明將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊BC邊的中點(diǎn)O上，從BC邊開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中三角板兩條直角邊所在的直線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）小明在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：在圖1中，線段AE與CF相等．請(qǐng)你證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）小明將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)A上，從BC邊開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小明在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：
BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：
小穎的方法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF（如圖2）；
小亮的方法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）．
請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；
（3）小明繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出：當(dāng)45°＜α＜135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD²+CE²=DE²仍然成立．現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)探究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖4），等量關(guān)系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OA，證△AEO≌△CFO，推出AE=CF即可；
（2）成立．小穎的方法是應(yīng)用折疊對(duì)稱的性質(zhì)和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中應(yīng)用勾股定理而證明；小亮的方法是將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)用SAS得到△ACE≌△ACG，從而在Rt△CEG中應(yīng)用勾股定理而證明．
（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD²+CE2=DE²仍然成立．可以根據(jù)小穎和小亮的方法進(jìn)行證明即可．

解答：（1）證明：如圖1，連接OA．
∵在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
又∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，∠EAO=∠C=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠AEO=∠B+∠BOE，∠CFO=180°-∠C-（180°-∠BOE-90°）=45°+∠BOE=∠B+∠BOE，
∴∠AEO=CFO，
在△AEO與△CFO中，

∠AEO=∠CFO ∠EAO=∠C OA=OC

，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF；

（2）選擇小穎的方法．
證明：如圖2，連接EF．
由折疊可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，

AF=AC ∠FAE=∠CAE AE=AE

，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．       

（3）解：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD²+CE²=DE²仍然成立．證明如下：
 如圖4，按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G．
∵將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，

AF=AC ∠FAE=∠CAE AE=AE

，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，∴BD²+CE²=DE²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．