Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4cm，CD=10cm，∠C=60°．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△ABP的面積改變了嗎？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若沒(méi)有改變，請(qǐng)求出△ABP的面積．
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP，垂足為H，若BH=3cm，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)，再由銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)同底等高的三角形面積相等可直接得出結(jié)論；
（3）由S_△ABP=

1

2

AB•AE=

1

2

PA•BH即可求出PA的長(zhǎng)．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AB=4cm，CD=10cm，
∴DE=

CD-AB

2

=

10-4

2

=3cm，
在Rt△ADE中，
∵DE=3cm，∠C=60°，
∴AD=

DE

cos60°

=

3

1 2

=6cm；

（2）沒(méi)變．
∵點(diǎn)P無(wú)論運(yùn)動(dòng)到何點(diǎn)，△ABP都是以AB為底、以AE為高的三角形，
∴△ABP的面積沒(méi)改變；
∵AB=4cm，AE=DE•tan60°=3×

3

=3

3

，
∴S_△ABP=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×3

3

=6

3

；

（3）∵在Rt△ADE中，DE=3cm，∠C=60°，
∴AE=DE•tan60°=3×

3

=3

3

，
∴S_△ABP=

1

2

AB•AE=

1

2

PA•BH，即4×3

3

=PA×3，解得PA=4

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．