Question

12．如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，下列三個(gè)判斷中，①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；②若a=-1，則b=4；③拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；正確的是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ①②③都不對(duì)

Answer 1

分析 觀察函數(shù)圖象可直接得到拋物線(xiàn)在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍，從而可對(duì)①進(jìn)行判斷；把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+2x+m+1中求出m，確定拋物線(xiàn)解析式，再通過(guò)解方程-x²+2x+3=0得到B點(diǎn)坐標(biāo)，從而可對(duì)②進(jìn)行判斷；先確定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，則點(diǎn)P和點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)x=1的距離為1-x₁，點(diǎn)Q到直線(xiàn)x=1的距離為x₂-1，然后比較點(diǎn)Q點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸的距離和點(diǎn)P點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸的距離的大小，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷．

解答 解：當(dāng)a＜x＜b時(shí)，y＞0，所以①錯(cuò)誤；
當(dāng)a=-1時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），把A（-1，0）代入y=-x²+2x+m+1得-1-2+m+1=0，解得m=2，則拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+2x+3，解方程-x²+2x+3=0得x₁=-1，x₂=3，則B（3，0），即b=3，所以②錯(cuò)誤；
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，因?yàn)閤₁＜1＜x₂，所以點(diǎn)P和點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，點(diǎn)P到直線(xiàn)x=1的距離為1-x₁，點(diǎn)Q到直線(xiàn)x=1的距離為x₂-1，則x₂-1-（1-x₁）=x₂+x₁-2，而x₁+x₂＞2，所以x₂-1-（1-x₁）＞0，所以點(diǎn)Q到對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)P到對(duì)稱(chēng)軸的距離要大，所以y₁＞y₂，所以③正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．判斷點(diǎn)P、點(diǎn)Q到對(duì)稱(chēng)軸的距離的大小是判斷命題③的真假的關(guān)鍵．