Question

如圖（1），點M，N分別在等邊三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．
（1）求證：∠BQM=60°；
（2）如圖（2），若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，其它條件不變，∠BQM=60°還成立嗎？（不需證明）
（3）如圖（3），若將題中的條件“點M，N分別在等邊三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，其它條件不變，∠BQM=60°還成立嗎？若成立，請說明理由，若不成立，請寫出∠BQM的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由△ABC為等邊三角形，易得AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，又由BM=CN，利用SAS即可證得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的對應角相等，即可求得∠BQM=60°；
（2）證明方法同（1），首先證得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的對應角相等，即可求得∠BQM=60°；
（3）首先利用SAS證得△ABM≌△BCN，然后利用全等三角形的對應角相等，即可求得∠BQM=∠ABC=90°．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，…（1分）
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

∴△ABM≌△BCN（SAS），…（3分）
∴∠BAM=∠CBN，…（4分）
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；…（5分）

（2）解：∠BQM=60°還成立．…（7分）理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BMA=∠CNB，
∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°；

（3）解：∠BQM=60°不成立，∠BQM=90°．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意利用SAS證得△ABM≌△BCN是解此題的關(guān)鍵．