Question

平面上的點(diǎn)M關(guān)于直線l有唯一的軸對(duì)稱點(diǎn)M′，這樣平面上的任意一點(diǎn)就與該點(diǎn)關(guān)于這條直線的軸對(duì)稱點(diǎn)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做點(diǎn)M關(guān)于直線l的軸對(duì)稱變換，記為M

M(l)

M′（l），點(diǎn)M的軸對(duì)稱點(diǎn)就記為M′（l），如圖（1）所示．如果先作平面上的點(diǎn)M關(guān)于直線l的軸對(duì)稱變換，M

M(l)

M′（l），M得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′（l），然后，再作M′（l）關(guān)于另外一條直線m的軸對(duì)稱變換，M′（l）

M(m)

M″（l，m），這樣點(diǎn)M就與該點(diǎn)關(guān)于直線l和m的軸對(duì)稱點(diǎn)M″（l，m）之 間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系就叫做點(diǎn)M關(guān)于直線l和m的軸對(duì)稱變換，M′（l）

M(m)

M″（l，m），記為，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就記為M″（l，m）．如圖（2），M是平面上的一點(diǎn)，直線l、m相交所成的角為θ（0°＜θ≤90°），且交點(diǎn)為O，請(qǐng)回答如下問(wèn)題：
（1）在備用圖中，請(qǐng)畫(huà)出M′（l）和M″（l，m）（保留畫(huà)圖痕跡）．
（2）當(dāng)θ=

90

°時(shí)，M與M″（l，m）關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱．
（3）試探究∠MOM′′與θ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作出M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M′，再作出M′關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)即可求解；
（2）M與M′關(guān)于l對(duì)稱，則l是MM′的垂直平分線，則∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，即可得到∠MOM″=2∠EOF，從而求解；
（3）解法與（2）相同．

解答：解：（1）

（2）當(dāng)M與M″（l，m）關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，∠MOM″=180°，
∵M(jìn)與M′關(guān)于l對(duì)稱，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ=180°
∴∠θ=90°．
故答案是：90；
（3）∠MOM″=2θ．
證明：∵M(jìn)與M′關(guān)于l對(duì)稱，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了作一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的作法，以及對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連線的中垂線．