Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，O是BD上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心作圓與AB相切于點(diǎn)G，
（1）證明：圓O與BC相交；
（2）設(shè)圓O與BC的公共點(diǎn)為E、F，連接DF，若DF與圓O相切，求OB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),矩形的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）作OH⊥BC于H，連結(jié)OG，根據(jù)切線的性質(zhì)得OG⊥AB，則可判斷四邊形BGOH為矩形，所以O(shè)H=BG，再證明△BGO∽△BAD，利用相似比得到BG=

3

5

OG，即OH=

3

5

OG，即OH＜OG，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷圓O與BC相交；
（2）連結(jié)OF，設(shè)⊙O的半徑為r，則BH=r，根據(jù)勾股定理得BD=2

34

，再證明△BOH∽△BDC，根據(jù)相似的性質(zhì)得

BO

BD

=

BH

BC

=

OH

DC

，可得到OH=

3

5

r，BO=

34

5

r，在Rt△OHF中，利用勾股定理可得到HF=

4

5

r，由于DF與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OFD=90°，然后證明Rt△OHF∽Rt△FCD，利用相似比計(jì)算出FC=

9

2

，由于BC=BH+HF+FC，即r+

4

5

r+

9

2

=10，解得r=

55

18

，所以O(shè)B=

34

5

r=

11 34

18

．

解答：（1）證明：作OH⊥BC于H，連結(jié)OG，如圖，
∵⊙O與AB相切于點(diǎn)G，
∴OG⊥AB，
∴四邊形BGOH為矩形，
∴OH=BG，
∵OG∥AB，
∴△BGO∽△BAD，
∴

BG

BA

=

OG

AD

，
∴BG=

3

5

OG，
∴OH=

3

5

OG，即OH＜OG，
∴圓O與BC相交；
（2）解：連結(jié)OF，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則BH=r，
在Rt△ABD中，AD=10，AB=6，
∴BD=

AD2+AB2

=2

34

，
∵OH∥DC，
∴△BOH∽△BDC，
∴

BO

BD

=

BH

BC

=

OH

DC

，即

BO

2 34

=

r

10

=

OH

6

，
∴OH=

3

5

r，BO=

34

5

r，
在Rt△OHF中，OF=r，OH=

3

5

r，
∴HF=

OF2-OH2

=

4

5

r，
∵DF與圓O相切，
∴∠OFD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△OHF∽Rt△FCD，
∴

OH

FC

=

HF

CD

，即

3 5 r

FC

=

4 5 r

6

，
∴FC=

9

2

，
∵BC=BH+HF+FC，
∴r+

4

5

r+

9

2

=10，
∴r=

55

18

，
∴OB=

34

5

×

55

18

=

11 34

18

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系．