Question

如圖，雙曲線y=

k

x

（k＞0，x＞0）分別交矩形OABC的邊BC、AB于E、F，交對角線OB于M，數(shù)學課時探索發(fā)現(xiàn)：

CE

CB

=

AF

AB

．小明思考

CE

CB

與

OM

OB

是否也存在著聯(lián)系？
（1）當B（2，2）時，M是OB中點時，點E坐標是

 

； 

CE

CB

=

 

．
（2）當B（4，3）時，

OM

OB

=

1

5

，試求出

CE

CB

的值；并猜想：對于任意矩形OABC，當

OM

OB

=

1

n

時，

CE

CB

=

 

 （直接寫出結(jié)果）．
（3）當

OM

OB

=

1

2

時，且∠BMF=Rt∠，求sin∠BOA的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由B（2，2），M是OB中點確定M點坐標為（1，1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

，然后確定E點坐標為（

1

2

，2）；則可計算出

CE

CB

=

1

4

；
（2）作MN⊥x軸于N，根據(jù)勾股定理計算出OB=5，再證明△OMN∽△OBA，利用相似比計算出MN=

3

5

，ON=

4

5

，得到M（

4

5

，

3

5

），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到k=

12

25

，即反比例函數(shù)解析式為y=

12

25x

，然后確定E點坐標為（

4

25

，4），則可計算出

CE

CB

=

4 25

4

=

1

25

，
當

OM

OB

=

1

n

時，根據(jù)前面的計算結(jié)果可得到

CE

CB

=

1

n2

；
（3）由（2）中的結(jié)論由

OM

OB

=

1

2

得

CE

CB

=

1

4

，利用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到S_△OCE=S_△OFA，則

1

2

OC•CE=

1

2

OA•AF，即

AF

OC

=

CE

OA

，所以

AF

AB

=

CE

CB

=

1

4

，則可設(shè)AF=m，OM=n，則AB=4m，OB=2n，然后證明△BMF∽△BAO，利用相似比得

n

4m

=

3m

2n

，所以n=

6

m，再在Rt△ABO中，根據(jù)正弦的定義求解．

解答：解：（1）∵B（2，2），M是OB中點
∴M點坐標為（1，1），
∴k=1×1=1，即反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

，
∵四邊形OABC為矩形，
∴E點的縱坐標和B的縱坐標相等，
把y=2代入y=

1

x

得x=

1

2

，
∴E點坐標為（

1

2

，2）；
∴

CE

CB

=

1 2

2

=

1

4

；
（2）作MN⊥x軸于N，如圖，
∴B點坐標為（4，3），
∴OA=4，AB=3，
在Rt△OAB中，OB=

32+42

=5，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OBA，
∴

MN

AB

=

ON

OA

=

OM

OB

，即

MN

3

=

ON

4

=

1

5

∴MN=

3

5

，ON=

4

5

，
∴M（

4

5

，

3

5

），
∴k=

3

5

×

4

5

=

12

25

，即反比例函數(shù)解析式為y=

12

25x

，
把y=3代入得x=

4

25

，
∴CE=

4

25

，
∴E點坐標為（

4

25

，4），
∴

CE

CB

=

4 25

4

=

1

25

，
當

OM

OB

=

1

n

時，

CE

CB

=

1

n2

；
故答案為（

1

2

，1），

1

4

；

1

n2

；
（3）∵

OM

OB

=

1

2

，
∴

CE

CB

=

1

4

，
∵S_△OCE=S_△OFA，
∴

1

2

OC•CE=

1

2

OA•AF，
∴

AF

OC

=

CE

OA

，
而OA=BC，OC=AB，
∴

AF

AB

=

CE

CB

=

1

4

，
設(shè)AF=m，OM=n，則AB=4m，OB=2n，
∵∠BMF=90°，∠MAF=∠ABO，
∴△BMF∽△BAO，
∴

BM

AB

=

BF

OB

，即

n

4m

=

3m

2n

，
∴n=

6

m，
在Rt△ABO中，sin∠BOA=

AB

OB

=

4m

2n

=

2m

n

=

2m

6 m

=

6

3

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和矩形的性質(zhì)；會運用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理進行幾何運算．