Question

18．有一塊直角三角形綠地，量得兩直角邊長分別為3m，4m，現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充時只能延長兩條直角邊中的一條，則擴充后等腰三角形綠地的面積為8或10或12或$\frac{25}{3}$或$\frac{15}{2}$m²．

Answer 1

分析 由于擴充所得的等腰三角形腰和底不確定，若設擴充所得的三角形是△ABD，則應分為①BC=CD，②AC=CD，③AD=BD，④AB=BD，⑤AD=AB，5種情況進行討論．

解答 解：①如圖1：

當BC=CD=3m時；
由于AC⊥BD，則AB=AD=5m；
此時等腰三角形綠地的面積：$\frac{1}{2}$×6×4=12（m²）；

②如圖2：

當AC=CD=4m時；
∵AC⊥CB，
此時等腰三角形綠地的面積：$\frac{1}{2}$×4×4=8（m²）；

③圖3：

當AD=BD時，設AD=BD=xm；
Rt△ACD中，BD=xm，CD=（x-3）m；
由勾股定理，得AD²=DC²+CA²，即（x-3）²+4²=x²，
解得x=$\frac{25}{6}$；
此時等腰三角形綠地的面積：$\frac{1}{2}$×BD×AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{6}$×4=$\frac{25}{3}$（m²）．

④如圖4，

延長BC到D使BD等于5m，
此時AB=BD=5m，
故CD=2m，
$\frac{1}{2}$•BD•AC=$\frac{1}{2}$×5×4=10（m²）．

⑤如圖5，

延長AC到D使AD等于5m，
此時AB=AD=5m，
故BC=3m，
$\frac{1}{2}$•BC•AD=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$（m²）．
故答案為：8或10或12或$\frac{25}{3}$或$\frac{15}{2}$．

點評 此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解決問題的關鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形．