(1)求證:不論m為何值,關于x的方程2x(x-2m)=(1-m)(1+m)總有兩個不等的實數根.
(2)二次函數y=2x2-4mx+m2-1的圖象與x軸有交點嗎?請說明理由.
(3)請你根據前兩問得到的啟示,利用二次函數y=2x2-4x+1的圖象,求出x取何值時y>0.
分析:(1)先把關于x的方程2x(x-2m)=(1-m)(1+m)化為一元二次方程的一般形式,再根據△>0時方程由兩個不相等的實數根得到關于m的不等式,求出m的值即可;
(2)先求出△的表達式,再根據△的取值范圍即可作出判斷;
(3)先判斷出拋物線的開口方向,再求出拋物線與x軸的兩交點坐標,根據函數圖象在x軸上方時y>0即可解答.
解答:解:(1)原方程可化為:2x
2-4mx+m
2-1=0,
∵△=(-4m)
2-4×2(m
2-1)=8m
2+8>0,
∴關于x的方程2x(x-2m)=(1-m)(1+m)總有兩個不等的實數根;
(2)∵△=(-4m)
2-4×2(m
2-1)=8m
2+8>0,
∴二次函數y=2x
2-4mx+m
2-1的圖象與x軸總有兩個不同的交點;
(3)∵二次函數y=2x
2-4x+1中,a=2>0,
∴此函數的圖象開口向上,
∵x=
=
=1±
,
∴二次函數y=2x
2-4x+1的圖象與x軸的交點為(1+
,0),(1-
,0),
∴當x>1+
或x<
時y>0.
點評:本題考查的是二次函數的圖象與x軸的交點問題,能把二次函數的解與解一元二次方程結合起來是解答此題的關鍵.