Question

點(diǎn)A，B分別在一次函數(shù)y=x與y=8x的圖象上，其橫坐標(biāo)分別為a，b（a＞0，b＞0），若直線AB為一次函數(shù)y=kx+m的圖象，當(dāng)

b

a

是整數(shù)時(shí)？求滿(mǎn)足條件的整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可以設(shè)A（a，a），B（b，8b），據(jù)此列出關(guān)于a、b的方程組，然后通過(guò)解方程組知：（a-b）k=a-8b；從而求得k=

a-8b

a-b

=

1- 8b a

1- b a

；再利用換元法（設(shè)

b

a

=t）以及整數(shù)的定義求得k值．

解答：解：∵點(diǎn)A，B分別在一次函數(shù)y=x與y=8x的圖象上，
∴設(shè)A（a，a），B（b，8b），則有

ak+m=a bk+m=8b

，
消去m得：（a-b）k=a-8b，
∵當(dāng)a=b時(shí)，a=b=0與題意不符合，
∴a≠b，且k=

a-8b

a-b

=

1- 8b a

1- b a

；
設(shè)

b

a

=t，則
k=

1-8t

1-t

=

8t-1

t-1

=

8(t-1)+7

t-1

，即k=8+

7

t-1

；
∵

b

a

是整數(shù)，a＞0，b＞0，t-1≠0，
∴t是整數(shù)，且t＞0，t≠1；
又∵k為整數(shù)，
∴t-1=7或t-1=1，
∴t=8或t=2，
∴k=9或k=15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．解得該題時(shí)，需要討論a與b的數(shù)量關(guān)系，以防出現(xiàn)增根．