Question

【題目】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）．在和中，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．為邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)．與的位置關(guān)系為 ，與的數(shù)量關(guān)系為 ．

（2）問(wèn)題證明：在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理山，

（3）拓展應(yīng)用：在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）或

【解析】

（1）如圖1，延長(zhǎng)BH交AC于點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)及已知條件可得∠BDC=∠ABG=60°，進(jìn)而得到∠A+∠ABG=90°，即可得到BH⊥AE，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)即可得到；

（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，根據(jù)“SAS”證明△DBE≌△PBE，得到，進(jìn)而證明，根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)，從而得到，再證明，得到，根據(jù)中位線(xiàn)定理得到，即可得到，；

（3）分兩種情況討論，①①如圖3-1中，當(dāng)DE在BC的下方時(shí)，延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，根據(jù)邊角關(guān)系以及勾股定理求出AE2，再根據(jù)，即可解答；②如圖3-2中，當(dāng)DE在BC的上方時(shí)，同法可得AF，EF的長(zhǎng)度，求出求出AE2，再根據(jù)，即可解答．

解：（1）如圖1，延長(zhǎng)BH交AC于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)H是Rt△BDC中CD的中點(diǎn)，

∴BH=DH，

∵，

∴∠BDC=∠ABG=60°，

∴∠A+∠ABG=90°，

∴∠AGB=90°，即BH⊥AE，

∵在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，

∴AE=2BC=6，

在Rt△BDE中，∠DEB=30°，

∴CD=，

∵點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，

∴BH=，

∴，

∴

故答案為：

（2）成立

證明如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，

連接分別交于點(diǎn)，如圖2所示.

在△DBE與△PBE中，

,

又，

在中，，

,

,

,

為的中點(diǎn)，

為中點(diǎn)，

,

,

，

.

又,

.

∴（1）中的結(jié)論仍然成立，

（3）①如圖3-1中，當(dāng)DE在BC的下方時(shí)，延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠BFD=90°，

由題意可知，BC=BE=3，AB=3，BD=，DE=2，

∴BF=，

EF=，

∴AF=3+，

∴AE2=，

∵，

∴，

∴，

②如圖3-2中，當(dāng)DE在BC的上方時(shí)，同法可得AF=，EF= ，

∴AE2=，

∴

綜上所述，BH2為或．