Question

已知線段OA⊥OB，C為OB上中點(diǎn)，D為AO上一點(diǎn)，連AC、BD交于P點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB且D為AO中點(diǎn)時(shí)，求的值；
（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，=時(shí)，求△BPC與△ACO的面積之比．

Answer 1

解：（1）過C作CE∥OA交BD于E，
∴△BCE∽△BOD，
∴，
∵C為OB上中點(diǎn)，
∴CE=OD，
∵D為AO中點(diǎn)，
∴CE=AD，
∵△ECP∽△DAP，
∴=2；

（2）過C作CE∥OA交BD于E，過P作PF⊥OB交OB于F，
設(shè)AD=x，
∵=，
∴AO=OB=4x，
∴OD=3x，
∵△BCE∽△BOD，C為OB上中點(diǎn)，
∴CE=OD=x，
∵△ECP∽△DAP，
∴；
由勾股定理可知BD=5x，DE=x，
∴，
∴PD=AD=x，
∵PF=，S_△BPC=，
∵S_△ACO=4x²，
∴．
分析：（1）首先過C作CE∥OA交BD于E，可得△BCE∽△BOD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得CE=OD=AD，再由△ECP∽△DAP，即可求得答案；
（2）首先過C作CE∥OA交BD于E，過P作PF⊥OB交OB于F，然后設(shè)AD=x，AO=OB=4x，則OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再由△ECP∽△DAP得；
又由勾股定理可知BD=5x，DE=x，則可求得PF=，S_△BPC=，而S_△ACO=4x²，繼而求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及比例的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．