Question

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．
（1）圖中是否存在與△ODM相似的三角形，若存在，請找出并給于證明．
（2）設(shè)DM=x，OA=R，求R關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式；是否存在整數(shù)R，使得正方形ABCD內(nèi)部的扇形OAM圍成的圓錐地面周長為

16

3

π？若存在請求出此時DM的長；不存在，請說明理由．
（3）在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）可以選擇證明△ODM∽△MCN；
（2）先利用勾股定理求出R關(guān)于x的表達式，再由R的取值范圍，分別討論求解；
（3）根據(jù)△ODM∽△MCN，利用對應(yīng)邊成比例得出CN，同理得出MN，表示出△CMN的周長，即可作出判斷．

解答：解：（1）∵MN切⊙O于點M，
∴∠OMN=90°，
∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠OMD=∠MNC，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ODM∽△MCN．

（2）在Rt△ODM中，DM=x，設(shè)OA=OM=R，
∴OD=AD-OA=8-R，
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴OA=R=

x2+64

16

(0＜x＜8)，
∵4＜OA＜8，即4＜R＜8，
∴當(dāng)R=5時，∠MOA超過180⁰，不符合，舍去，
當(dāng)R=6時，∠MOA=160°，
∴x=±4

2

∵x＞0，
∴x=4

2

，
同理當(dāng)R=7時，x=

38

．

（3）∵CM=CD-DM=8-x，OD=8-R=8-

x2+64

16

=

64-x2

16

，
且有△ODM∽△MCN，
∴

MC

OD

=

CN

DM

，
∴代入得到CN=

16x

x+8

，
同理

MC

OD

=

MN

OM

，
∴代入得到MN=

x2+64

x+8

，
∴△CMN的周長為P=CM+CN+MN=(8-x)+

16x

x+8

+

x2+64

x+8

=（8-x）+（x+8）=16，
在點O的運動過程中，△CMN的周長始終為16，是一個定值．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了勾股定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合的知識點較多，此類題目對學(xué)生的綜合能力要求較高，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運用．