如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點O為AD上一動點(4<OA<8),以O(shè)為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點M,連接OM,過點M作⊙O的切線交邊BC于N.
(1)圖中是否存在與△ODM相似的三角形,若存在,請找出并給于證明.
(2)設(shè)DM=x,OA=R,求R關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式;是否存在整數(shù)R,使得正方形ABCD內(nèi)部的扇形OAM圍成的圓錐地面周長為
16
3
π?若存在請求出此時DM的長;不存在,請說明理由.
(3)在動點O逐漸向點D運動(OA逐漸增大)的過程中,△CMN的周長如何變化?說明理由.
考點:圓的綜合題
專題:綜合題
分析:(1)可以選擇證明△ODM∽△MCN;
(2)先利用勾股定理求出R關(guān)于x的表達式,再由R的取值范圍,分別討論求解;
(3)根據(jù)△ODM∽△MCN,利用對應(yīng)邊成比例得出CN,同理得出MN,表示出△CMN的周長,即可作出判斷.
解答:解:(1)∵MN切⊙O于點M,
∴∠OMN=90°,
∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°,
∴∠OMD=∠MNC,
又∵∠D=∠C=90°,
∴△ODM∽△MCN.

(2)在Rt△ODM中,DM=x,設(shè)OA=OM=R,
∴OD=AD-OA=8-R,
由勾股定理得:(8-R)2+x2=R2,
∴64-16R+R2+x2=R2
OA=R=
x2+64
16
(0<x<8)

∵4<OA<8,即4<R<8,
∴當(dāng)R=5時,∠MOA超過1800,不符合,舍去,
當(dāng)R=6時,∠MOA=160°,
x=±4
2

∵x>0,
x=4
2

同理當(dāng)R=7時,x=
38


(3)∵CM=CD-DM=8-x,OD=8-R=8-
x2+64
16
=
64-x2
16
,
且有△ODM∽△MCN,
MC
OD
=
CN
DM

∴代入得到CN=
16x
x+8
,
同理
MC
OD
=
MN
OM
,
∴代入得到MN=
x2+64
x+8
,
∴△CMN的周長為P=CM+CN+MN=(8-x)+
16x
x+8
+
x2+64
x+8
=(8-x)+(x+8)=16,
在點O的運動過程中,△CMN的周長始終為16,是一個定值.
點評:本題考查了圓的綜合,涉及了勾股定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),綜合的知識點較多,此類題目對學(xué)生的綜合能力要求較高,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計算化簡
(
a2b
c2
)3•(
-c2
a2b
)÷(
bc
a
)4
;
12
m2-9
-
2
m-3
;
a2+b2
a-b
-a+b
;
(
m-1
m+1
+
2m
m2-1
1
m2-1

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如圖,在△ABC中,∠B=40°,∠C=110°.
(1)畫出下列圖形:①BC邊上的高AD;②∠A的角平分線AE.
(2)試求∠DAE的度數(shù).

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已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(9,0)和點(24,20),求該一次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,
(1)將直線y=x向上平移1個單位得到直線l,寫出直線l的解析式,并在平面直角坐標系中畫出它的圖象;
(2)若點A、B的坐標分別為(1,0)、(4,0),請你利用尺規(guī)作圖在直線l上確定一點P,使得PA=PB;連結(jié)PA、PB,并求出△PAB的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖的圖象反映的過程是:張強從家跑步去體育場,在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆,然后散步走回家.其中x表示時間,y表示張強離家的距離.根據(jù)圖象回答下列問題:
(l)體育場離張強家
 
km,張強從家到體育場用了
 
分;
(2)體育場離文具店
 
km;
(3)張強在文具店逗留了
 
分;
(4)張強從文具店回家的平均速度是
 
米/分.

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拼圖游戲:一天,小嘉在玩紙片拼圖游戲時,發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干,可以拼出一些長方形來解釋某些等式.比如圖②可以解釋為:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2

(1)則圖③可以解釋為等式:
 

(2)在虛線框中用圖①中的基本圖形若干塊(每種至少用一次)拼成一個長方形,使拼出的長方形面積為3a2+7ab+2b2,并通過拼圖對多項式3a2+7ab+2b2因式分解:3a2+7ab+2b2=
 

(3)如圖④,大正方形的邊長為m,小正方形的邊長為n,若用x、y表示四個長方形的兩邊長(x>y),結(jié)合圖案,指出以下關(guān)系式:
(1)xy=
m2-n2
4
;(2)x+y=m;(3)x2-y2=m•n;(4)x2+y2=
m2+n2
2

其中正確的關(guān)系式的個數(shù)有( 。
A.1個  B.2個    C.3個   D.4個.

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等腰三角形的腰長與底邊的比為4:3,一邊長為24,三角形的周長為
 

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若x+2y-3=0,則2x•4y的值為
 

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