Question

如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)AB=3，點(diǎn)E（與B，C不重合）是BC邊上任意一點(diǎn)，把EA繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接CF．
（1）求證：CF是正方形ABCD的外角平分線；
（2）當(dāng)∠BAE=30°時(shí)，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，易證△ABE≌△EGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此可得到∠FCG=∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分線；
（2）首先可求出BE的長(zhǎng)，即FG的長(zhǎng)，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G．
∵∠AEF=∠B=∠90°，
∴∠1=∠2．
在△ABE和△EGF中，

∠1=∠2 ∠B=∠FGE=90° AE=EF

∴△ABE≌△EGF（AAS）．
∴AB=EG，BE=FG．
又∵AB=BC，
∴BE=CG，
∴FG=CG，
∴∠FCG=∠45°，
即CF平分∠DCG，
∴CF是正方形ABCD外角的平分線．

（2）∵AB=3，∠BAE=30°，tan30°=

BE

AB

=

3

3

，
BE=AB•tan30°=3×

3

3

，即CG=

3

．
在Rt△CFG中，cos45°=

CG

CF

，
∴CF=

6

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．