【題目】如圖,拋物線yax2+2x+ca0)與x軸交于點A和點B(點A在原點的左側(cè),點B在原點的右側(cè)),與y軸交于點C,OBOC3

1)求該拋物線的函數(shù)解析式;

2)如圖1,連接BC,點D是直線BC上方拋物線上的點,連接OD,CD,ODBC于點F,當SCOFSCDF32時,求點D的坐標.

3)如圖2,點E的坐標為(0,),在拋物線上是否存在點P,使∠OBP2OBE?若存在,請直接寫出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)點D14)或(2,3);(3)當點Px軸上方時,點P);當點Px軸下方時,點(﹣,﹣

【解析】

(1)c=3,點B(3,0),將點B的坐標代入拋物線表達式:y=ax2+2x+3,解得a=1即可得出答案;

(2)SCOFSCDF=32OFFD=32,由DHCOCODM=32,求得DM=2,而DM==2,即可求解;

(3)分點Px軸上方、點Px軸下方兩種情況,分別求解即可.

(1) OB=OC=3,

∴點C的坐標為C(0,3)c=3,點B的坐標為B(3,0)

將點B的坐標代入拋物線表達式:y=ax2+2x+3,解得:a=1

故拋物線的表達式為:y=x2+2x+3;

(2)如圖,過點DDHx軸于點H,交BC于點M,

SCOFSCDF=32,

OFFD=32,

DHCO

CODM= OFFD=32,

DM=CO=2

設(shè)直線BC的表達式為:,

C(03),B(3,0)代入得,

解得:,

∴直線BC的表達式為:y=x+3,

設(shè)點D的坐標為(x,﹣x2+2x+3),則點M(x,﹣x+3),

DM==2

解得:x=12,

故點D的坐標為:(14)(2,3);

(3)①當點Px軸上方時,

OG=OE,連接BG,過點B作直線PB交拋物線于點P,交y軸于點M,使∠GBM=GBO,

則∠OBP=2OBE,過點GGHBM,如圖,

∵點E的坐標為(0,)

OE=,

∵∠GBM=GBO,GHBM,GOOB,

GH= GO=OE=,BH=BO=3,

設(shè)MH=x,則MG=

OBM中,OB2+OM2=MB2,即,

解得:x=2

MG==,則OM=MG+ GO=+

M的坐標為(0,4),

設(shè)直線BM的表達式為:

將點B(3,0)M(0,4)代入得:

解得:,

∴直線BM的表達式為:y=x+4,

解方程組

解得:x=3(舍去)

x=代入 y=x+4y=

故點P的坐標為(,)

②當點Px軸下方時,如圖,過點EENBP,直線PBy軸于點M,

∵∠OBP=2OBE

BE是∠OBP的平分線,

EN= OE=,BN=OB=3,

設(shè)MN=x,則ME=

OBM中,OB2+OM2=MB2,即

解得:,

,則OM=ME+ EO=+,

M的坐標為(0-4),

設(shè)直線BM的表達式為:,

將點B(3,0)、M(0-4)代入得:,

解得:,

∴直線BM的表達式為:,

解方程組

解得:x=3(舍去),

x=代入,

故點P的坐標為(,)

綜上,點P的坐標為:()(,)

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