Question

如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=4，BC=12，AD=9，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿射線BC以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D開(kāi)始沿DA邊向終點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，設(shè)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）若四邊形PQDC是平行四邊形，求t值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC為直角三角形？
（3）如果⊙P是以P為圓心，BP長(zhǎng)為半徑的圓，⊙Q是以Q為圓心，1為半徑的圓，在移動(dòng)的過(guò)程中，試探究：⊙P與⊙Q的位置關(guān)系，并求出相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)PC=DQ時(shí)，四邊形PDCB是平行四邊形，
∴12-2t=t，
∴t=4．
∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形．

（2）過(guò)Q點(diǎn)，作QE⊥BC于E，DF⊥BC，
∴DF=AB=4．
FC=BC-AD=12-9=3．
①當(dāng)PQ⊥BC，
△PQC是直角三角形．則：12-2t-t=3，
∴t=3．
②當(dāng)QP⊥QC，
∴QE=4，CE=3+t，PE=12-2t-（3+t）=9-3t，
∴16=（3+t）（9-3t），
解得：t=，
∴當(dāng)t=3或時(shí)，△PQC是直角三角形．


（3）當(dāng)兩圓相切切時(shí)，有兩種情況：四邊形PCDQ是等腰梯形或平行四邊形．
①等腰梯形時(shí)，根據(jù)題意得出，
QM=4，PQ=1+2t，PM=9-3t，
∴PM²+QM²=PQ²，
∴（9-3t）²+16=（1+2t）²，
整理得出：5t²-58t+96=0，
解得：t=2或t=9.6（不合題意舍去），
②平行四邊形時(shí)，DQ=PC，
即t=12-2t，
解得：t=4．
∴t=2或4，兩圓相切，
當(dāng)0＜t＜2或4＜x≤9時(shí)，兩圓外離，
當(dāng)2＜t＜4時(shí)相交．
分析：（1）已知AD∥BC，添加PC=DQ即可判斷以PQDC為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（2）點(diǎn)P處可能為直角，點(diǎn)Q處也可能是直角，而后求解即可．
（3）利用圓與圓的位置關(guān)系分別進(jìn)行判定即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形以及圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，注意分情況討論和常見(jiàn)知識(shí)的應(yīng)用．