Question

14．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．則sin∠E的值為（　�。�

• A． $\frac{7}{25}$
• B． $\frac{9}{25}$
• C． $\frac{14}{25}$
• D． $\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求sin∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．

解答 解：連接CD、BG．如圖所示：
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，CD⊥AB，
∵AC=BC=10，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴CD=，$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{12×8}{10}$=$\frac{48}{5}$，
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{14}{5}$．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{\frac{14}{5}}{10}$=$\frac{7}{25}$；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理，由勾股定理求出CG是解決問題的關(guān)鍵．