Question

已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部．
（1）如圖1，若已知∠AOC=2∠BOC，∠AOB的補角比∠BOC的余角大30°．
①求∠AOB的度數(shù)；
②過點O作射線OD，使得∠AOC=3∠AOD，求出∠COD的度數(shù)．
（2）如圖2，若在∠AOB的內(nèi)部作∠DOC，OE、OF分別為∠AOD和∠COB的平分線．則∠AOB+∠DOC=2∠EOF，請說明理由．

Answer 1

考點：余角和補角,角平分線的定義,角的計算

專題：

分析：（1）①先設(shè)∠BOC=x，則∠AOC=2x，再用x表示出∠AOB的補角與∠BOC余角的大小，求出x的值，進而可得出結(jié)論；
②分射線OD在∠AOB的內(nèi)部與在∠AOB的外部兩種情況進行討論．
（2）OE、OF分別為∠AOD和∠BOC的平分線，可得∠DOE=

1

2

∠AOD，∠COF=

1

2

∠BOC，所以∠EOF=∠DOC+

1

2

（∠AOD+∠BOC），即可得2∠EOF=2∠DOC+∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠DOC．

解答：解：（1）①∵∠AOC=2∠BOC，
∴設(shè)∠BOC=x，則∠AOC=2x，
∴∠AOB的補角=180°-3x，∠BOC的余角=90°-x．
∵∠AOB的補角比∠BOC的余角大30°，
∴180°-3x=90°-x+30°，解得x=30°，
∴∠AOB=3x=90°；

②∵由①知，x=30°，
∴∠AOC=2x=60°．
當(dāng)射線OD在∠AOB的內(nèi)部時，
∵∠AOC=3∠AOD，
∴∠COD=

2

3

∠AOC=

2

3

×60°=40°；
當(dāng)射線OD在∠AOB的外部時，
∵∠AOC=3∠AOD，
∴∠AOD=

1

3

∠AOC=

1

3

×60°=20°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+60°=80°．
綜上所述，∠COD的度數(shù)是40°或80°；

（2））∵OE、OF分別為∠AOD和∠BOC的平分線，
∴∠EOD=

1

2

∠AOD，∠COF=

1

2

∠BOC，
∴∠EOF=∠DOC+

1

2

（∠AOD+∠BOC），
∴2∠EOF=2∠COD+∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD．即∠AOB+∠COD=2∠EOF．

點評：本題考查了角平分線的定義以及角的計算，還用到了方程的思想．注意（2）要根據(jù)射線OD的位置不同，分類討論，分別求出∠BOD的度數(shù)．