Question

10．已知：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；…
（1）填空：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$；
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解方程：
$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+$\frac{1}{（x+3）（x+4）}$+$\frac{1}{（x+4）（x+5）}$+…+$\frac{1}{（x+2013）（x+2014）}$=$\frac{x}{（x+2）（x+2014）}$．

Answer 1

分析 （1）歸納總結(jié)得到拆項(xiàng)規(guī)律，將原式變形后計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）利用得出的拆項(xiàng)規(guī)律將方程變形，求出解，檢驗(yàn)即可．

解答 解：（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（2）方程整理得：$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+4}$+…+$\frac{1}{x+2013}$-$\frac{1}{x+2014}$=$\frac{x}{（x+2）（x+2014）}$，
即$\frac{2012}{（x+2）（x+2014）}$=$\frac{x}{（x+2）（x+2014）}$，
去分母得：x=2012，
經(jīng)檢驗(yàn)x=2012是分式方程的解．
故答案為：（1）$\frac{n}{n+1}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．