Question

15．已知C，D過(guò)∠BCA頂點(diǎn)的一條直線，CA=CB，E，F(xiàn)是直線CD上的兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA．
（1）如圖（1），若∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=90°，則BE==CF（填“＞”、“＜”或“=”）
（2）如圖（2），∠BCA+∠BEC=180°，則（1）中的結(jié)論是否成立？為什么？
（3）如圖（3），若∠BEC=∠CFA=∠BCA，則線段EF，BE，AF之間有何數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和直角求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=CF
（2）先證明∠CBE=∠ACF，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=CF．
（3）結(jié)論：EF=AF+BE，首先證明∠CBE=∠ACF，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=CF，CE=AF，即可得出EF=AF+BE

解答 （1）解：如圖1中，∵∠BCA=∠BEC=∠CFA=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFA}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|，
故答案為=．
（2）成立．理由如下，
證明：如圖2中，∵∠BCA+∠BEC=180°，∠BCE+∠BEF=180°，
∴∠BCA=∠BEF，
∴∠ACF+∠BCE=∠BCE+∠CBE，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFA}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF．
（3）結(jié)論：EF=AF+BE，理由如下．
證明：如圖3中，∵∠BCF=∠BEC+∠CBE=∠BCA+∠ACF
∵∠BEC=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFA}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=AF+BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，此題是一道比較復(fù)雜的題目，綜合性比較強(qiáng)，本題考查了從特殊到一般的過(guò)程，考查了學(xué)生的分析能力和推理能力，屬于中考�？碱}型．