Question

如圖，己知雙曲線y=（x＞0）與經(jīng)過點A（1，0）、B（0，1）的直線交于P、Q兩點，連接OP、OQ．
（1）求△OPQ的面積．
（2）試說明：△OAQ≌△OBP．
（3）若C是OA上不與O、A重合的任意一點，CA=a（0＜a＜1），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．
①a為何值時，CE=AC？
②線段OA上是否存在點C，使CE∥AB？若存在這樣的點，請求出點C的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：設過A、B兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∵點A（1，0）、B（0，1），
∴，解得，
∴直線AB的解析式為：y=-x+1，
∴，解得或，
∴P（，） Q（，）；
過點O作OF⊥AB于點F，
∵點A（1，0）、B（0，1），
∴OA=OB=1，AB=，
∴AB•OF=OB•OA，OF=1，解得OF=，
∵P（，） Q（，），
∴PQ==，
∴S_△OPQ=PQ•OF=××=；

（2）證明：∵點A（1，0）、B（0，1），
∴OA=OB，∠ABO=∠OAB=45°，
∵OF⊥AB，
∴OF是線段AB的垂直平分線，
∴BF=AF，
∵P（，） Q（，）；
∴OP=OQ，PF=QF，
∴BP=AQ，
在△OAQ與△OBP中，
∵，
∴△OAQ≌△OBP；

（3）①過點D作DM⊥x軸于點M，
∵OA=1，CA=a，
∴OC=1-a，
∵CD⊥AB，∠OAB=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴DM=CM=CA=，
∵DE⊥y軸，
∴四邊形DEOM是矩形，
∴OE=DM=，
在Rt△OEC中，
∵CE=AC=a，OC=1-a，OE=，
∴CE²=OC²+OE²，即a²=（1-a）²+（）²，
解得a=4-2或a=4+2（舍去）．
故當a為4-2時，CE=AC；
②存在．理由如下：
由①可知，OC=1-a，OE=，
∵OA=OB，CE∥AB，
∴OC=OE，即1-a=，
解得a=，
∴1-a=1-=，
∴C（，0）．
分析：（1）先用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再求出直線AB與雙曲線y=（x＞0）的交點坐標，根據(jù)勾股定理求出線段AB的長，過點O作OF⊥AB于點F，利用三角形的面積公式求出OF的長，進而可得出△OPQ的面積；
（2）先根據(jù)A、B兩點的坐標可知△OAB是等腰直角三角形，OA=OB，∠ABO=∠OAB=45°，由OF⊥AB可知OF是線段AB的垂直平分線，故BF=AF，由P、Q兩點的坐標可知OP=OQ，故PF=QF，所以BP=AQ，由此即可得出結(jié)論；
（3）①過點D作DM⊥x軸于點M，由于OA=1，CA=a，故OC=1-a，由CD⊥AB，∠OAB=45°可知△ADC是等腰直角三角形，故DM=CM=CA=，再根據(jù)DE⊥y軸可知四邊形DEOM是矩形，故OE=DM=，在Rt△OEC中利用勾股定理即可求出a的值；
②由①可知，OC=1-a，OE=，由于OA=OB，所以若CE∥AB，則OC=OE，故可得出a的值．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，難度較大．