Question

9．若點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，定義：d₁=$\frac{|x|+|y|}{2}$，d₂=$\sqrt{|xy|}$，若函數(shù)圖象上存在使得d₁=d₂的點(diǎn)，不妨把這類函數(shù)稱為”共享函數(shù)”．把滿足要求的點(diǎn)稱為”共享點(diǎn)“
（1）寫出函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的所有“共享點(diǎn)”的坐標(biāo)．
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠±1，且k，b為常數(shù)）是”共享函數(shù)”，請(qǐng)求出”共享點(diǎn)“的坐標(biāo)．（結(jié)果用k，b的代數(shù)式表示）．
（3）二次函數(shù)y=ax²+c是”共享函數(shù)”，存在四個(gè)”共享點(diǎn)”A，B，C，D（順次排列），且四邊形ABCD面積為1，若將二次函數(shù)y=ax²+c向上平移1個(gè)單位，恰好只有兩個(gè)”共享點(diǎn)”，求a的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（m，$\frac{1}{m}$）是y=$\frac{1}{x}$上的共享點(diǎn)，根據(jù)定義列出方程即可解決問題．
（2）設(shè)P（m，km+b）是一次函數(shù)y=kx+b上的共享點(diǎn)．列出方程求解即可．
（3）設(shè)P（m，am²+c）是二次函數(shù)y=ax²+c上的共享點(diǎn)，由題意$\frac{|m|+|a{m}^{2}+c|}{2}$=$\sqrt{|m（a{m}^{2}+c）|}$，即[|m|-|am²+c||]²=0，所以|m|=|am²+c|，所以二次函數(shù)y=ax²+c上的共享點(diǎn)，可以看成直線y=x與y=ax²+c的交點(diǎn)，或直線y=-x與y=ax²+c的交點(diǎn)，由AC⊥BD，AC=BD，可得$\frac{1}{2}$AC•BD=1，AC=$\sqrt{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c}\end{array}\right.$消去y得ax²-x+c=0，
所以m+n=$\frac{1}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$，由AC=$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{2（m-n）^{2}}$=$\sqrt{2}$，即（m-n）²=1，所以（m+n）²-4mn=1，所以$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$=1，得1-4ac=a²    ①，由將二次函數(shù)y=ax²+c向上平移1個(gè)單位，恰好只有兩個(gè)”共享點(diǎn)”，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c+1}\end{array}\right.$消去y得到ax²-x+c+1=0，由題意△=0，得到1-4a（c+1）=0   ②由①②消去c即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)P（m，$\frac{1}{m}$）是y=$\frac{1}{x}$上的共享點(diǎn)，
由題意$\frac{|m|+|\frac{1}{m}|}{2}$=$\sqrt{|m•\frac{1}{m}|}$，
∴|m|+|$\frac{1}{m}$|=2，
解得m=±1，
∴函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的所有“共享點(diǎn)”的坐標(biāo)為（1，1）或（-1，-1）．

（2）設(shè)P（m，km+b）是一次函數(shù)y=kx+b上的共享點(diǎn)．
由題意$\frac{|m|+|mk+b|}{2}$=$\sqrt{|m（km+b）|}$，
∴（|m|-|km+b|）²=0，
∵k≠±1，
∴m=$\frac{1-k}$或$\frac{1+k}$．
∴共享點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{1-k}$，$\frac{1-k}$）或（$\frac{-b}{1+k}$，$\frac{1+k}$）．

（3）設(shè)P（m，am²+c）是二次函數(shù)y=ax²+c上的共享點(diǎn)，
由題意$\frac{|m|+|a{m}^{2}+c|}{2}$=$\sqrt{|m（a{m}^{2}+c）|}$，
∴[|m|-|am²+c||]²=0，
∴|m|=|am²+c|，
∴二次函數(shù)y=ax²+c上的共享點(diǎn)，可以看成直線y=x與y=ax²+c的交點(diǎn)，或直線y=-x與y=ax²+c的交點(diǎn)，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
不妨設(shè)A（m，m）、C（n，n）是y=x與y=ax²+c的交點(diǎn)，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c}\end{array}\right.$消去y得ax²-x+c=0，
∴m+n=$\frac{1}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2（m-n）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（m-n）²=1，
∴（m+n）²-4mn=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$=1，
∴1-4ac=a²    ①，
將二次函數(shù)y=ax²+c向上平移1個(gè)單位，恰好只有兩個(gè)”共享點(diǎn)”，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+c+1}\end{array}\right.$消去y得到ax²-x+c+1=0，由題意△=0，
∴1-4a（c+1）=0   ②
①②消去c得到a²-4a=0，
∵a≠0，
∴a=4．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題主要考查了根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題．