Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點（點P不與A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于點E．
（1）求證：△ABP∽△DPE；
（2）設AP=x，DE=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據同角的余角相等得到∠ABP=∠EPD，根據相似三角形的判定定理證明結論；
（2）根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（3）根據矩形的判定定理、結合一元二次方程計算即可．

解答 （1）證明：∵∠A=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵PE⊥BP，
∴∠EPD+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠EPD，
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴∠D=90°，
∴△ABP∽△DPE；
（2）∵△ABP∽△DPE，
∴$\frac{AB}{PD}$=$\frac{AP}{DE}$，即$\frac{2}{5-x}$=$\frac{x}{y}$，
則y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x，0＜x＜5；
（3）當四邊形ABED為矩形時，DE=AB=2，即y=2，
則-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x=2，
解得，x₁=1，x₂=4（舍去），
∴當AP=1時，四邊形ABED能構成矩形．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，掌握相關的性質定理和判斷定理是解題的關鍵，注意函數思想在解題中的靈活運用．