(2006•株洲)如圖:已知拋物線y=x2+x-4與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知矩形DEFG的一條邊DE在AB上,頂點(diǎn)F,G分別在線段BC,AC上,設(shè)OD=m,矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并指出m的取值范圍;
(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí),連接對(duì)角線DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M,使FM=DF.試探究此時(shí)點(diǎn)M是否在拋物線上,請(qǐng)說明理由.
【答案】分析:(1)讓二次函數(shù)解析式的y=0,求得A,B的橫坐標(biāo),讓x=0,求得C的縱坐標(biāo).
(2)根據(jù)DG∥AC,可得△ADG∽△AOC,利用相似比可求得用m表示的DG長(zhǎng);同理可得△CFG∽△CBA,利用相似比可求得用m表示的FG長(zhǎng).那么矩形的面積=DG×FG
(3)利用(2)所給的二次函數(shù)解析式求得相應(yīng)的m的取值時(shí)的最值.作MN⊥AB,垂足為N,則有MN∥FE,利用相似可求得有關(guān)點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)的相關(guān)線段長(zhǎng).把橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,看是否等于縱坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)A(2,0),B(-8,0),C(0,-4).(3分)

(2)由△ADG∽△AOC,可得,
∴DG=2(2-m),(4分)
同理可得△CFG∽△CBA,
∴DE=5m,(5分)
∴S=DG×DE=2(2-m)•5m=20m-10m2
∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=-10m2+20m,且0<m<2.(6分)

(3)由S=-10m2+20m可知m=1時(shí),S有最大值10,此時(shí)D(1,0),DE=5,EF=2.(7分)
過點(diǎn)M作MN⊥AB,垂足為N,則有MN∥FE,

又有,
得DN=7,
∴N(-6,0),,(8分)
在二次函數(shù)y=x2+x-4中,當(dāng)x=-6時(shí),,
∴點(diǎn)M不在拋物線上.(9分)
點(diǎn)評(píng):與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.主要運(yùn)用了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)得到所求.
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(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知矩形DEFG的一條邊DE在AB上,頂點(diǎn)F,G分別在線段BC,AC上,設(shè)OD=m,矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并指出m的取值范圍;
(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí),連接對(duì)角線DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M,使FM=DF.試探究此時(shí)點(diǎn)M是否在拋物線上,請(qǐng)說明理由.

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(2)已知矩形DEFG的一條邊DE在AB上,頂點(diǎn)F,G分別在線段BC,AC上,設(shè)OD=m,矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并指出m的取值范圍;
(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí),連接對(duì)角線DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M,使FM=DF.試探究此時(shí)點(diǎn)M是否在拋物線上,請(qǐng)說明理由.

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(1)當(dāng)b=3時(shí),求經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線的解析式;
(2)當(dāng)B點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線BC與⊙O′有哪幾種位置關(guān)系?并求每種位置關(guān)系時(shí)b的取值范圍.

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