Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD為直徑作⊙O₁交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，）．
（1）求C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：EF為⊙O₁的切線；
（3）線段CD上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的⊙P與y軸相切．如果存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：連CE，如圖，
∵CD為⊙O₁的直徑，
∴CE⊥DE，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，BC=2，A（2，0），B（0，）．
∴DE=OA=2，
∴OD=2+2=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；


（2）證明：∵DE=2，DC=AB==4，
∴∠DCE=30°，
∴∠CDE=∠A=60°，
∴△O₁DE為等邊三角形，
∴∠O₁ED=60°，
而EF⊥AB，
∴∠FEA=30°，
∴∠O₁EF=90°，
∴EF為⊙O₁的切線；

（3）存在．理由如下：
設(shè)⊙P與y軸切與F，連PF，過C作CE⊥x軸與E，交PF于H，⊙P的半徑為R，如圖，
∴PF⊥y軸，
∴PD=PF=R，
∴PH=R-2，PC=4-R，DE=2，
易證得Rt△CPH∽Rt△CDE，
∴==，即==，解得R=，CH=，
∴HE=2-=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）．
分析：（1）連CE，根據(jù)圓周角定理的推論得到CE⊥DE，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得DE=OA=2，則OD=2+2=4，即可寫出C點(diǎn)坐標(biāo)和D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）AB=4，易得∠DCE=30°，則∠CDE=∠A=60°，得到△O₁DE為等邊三角形，則∠O₁ED=60°，而EF⊥AB，有∠FEA=30°，于是∠O₁EF=90°，根據(jù)切線的判定即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)⊙與y軸相切于F，連PF，過C作CE⊥x軸與E，交PF于H，⊙P的半徑為R，根據(jù)切線的性質(zhì)得PF⊥y軸，則PD=PF=R，所以有PH=R-2，PC=4-R，DE=2，易證得Rt△CPH∽Rt△CDE，理由相似比可求出R和CH，可得到HE，即可寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)．