Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²+2mx+n經過P（，5），A（0，2）兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為B，將直線AB沿y軸向下平移兩個單位得到直線l，直線l與拋物線的對稱軸交于C點，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，求到直線OB，OC，BC距離相等的點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把P，A坐標代入拋物線解析式即可．
（2）先設出平移后的直線l的解析式，然后根據（1）的拋物線的解析式求出C點的坐標，然后將C點的坐標代入直線l中即可得出直線l的解析式．
（3）本題關鍵是找出所求點的位置，根據此點到直線OB、OC、BC的距離都相等，因此這類點應該有4個，均在△OBC的內角平分線上（△OBC外有3個，三條角平分線的交點是一個），可據此來求此點的坐標．
解答：解：（1）根據題意得，
解得，
所以拋物線的解析式為：．

（2）由得拋物線的頂點坐標為B（，1），
依題意，可得C（，-1），且直線過原點，
設直線的解析式為y=kx，則，
解得，
所以直線l的解析式為．

（3）到直線OB、OC、BC距離相等的點有四個，如圖，
由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC為等邊三角形．
易證x軸所在的直線平分∠BOC，y軸是△OBC的一個外角的平分線，
作∠BCO的平分線，交x軸于M₁點，交y軸于M₂點，
作△OBC的∠BCO相鄰外角的角平分線，交y軸于M₃點，
反向延長線交x軸于M₄點，可得點M₁，M₂，M₃，M₄就是到直線OB、OC、BC距離相等的點．
可證△OBM₂、△BCM₄、△OCM₃均為等邊三角形，可求得：
①OM₁==×2=，所以點M₁的坐標為（，0）．
②點M₂與點A重合，所以點M₂的坐標為（0，2），
③點M₃與點A關于x軸對稱，所以點M₃的坐標為（0，-2），
④設拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，
M₄N=，且ON=M₄N，
所以點M₄的坐標為（，0）
綜合所述，到直線OB、OC、BC距離相等的點的坐標分別為：
M₁（，0）、M₂（0，2）、M₃（0，-2）、M₄（，0）．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定，一次函數的平移以及角平分線定理的應用等知識點．綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．