Question

春節(jié)期間，某市某工藝廠設(shè)計(jì)了一款制造成本為12元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷，經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)x（元/件）	…	20	30	40	50	60	…
每天銷售量（y件）	…	500	400	300	200	100	…

（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）
（2）根據(jù)有關(guān)部門規(guī)定，這種工藝品的銷售單價(jià)不能高于36元，如果廠家要獲得每月不低于7200元的利潤，那么每月制造出這種商品的最低制造成本需要多少萬元？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）先根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到銷售量（y件）與銷售單價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+700，再利用利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)得到每天的利潤W=（x-12）（-10x+700），配方得到W=-10（x-41）²+8410，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（2）先計(jì)算出利潤為7200元時(shí)的x的值，得到30≤x≤36，再根據(jù)已次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)x=36時(shí)，y最小值=340，然后根據(jù)每月制造出這種商品的最低制造成本．

解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，把（20，500）、（30，400））代入得

20k+b=500 30k+b=400

，
解得

k=-10 b=700

，
則y=-10x+700，
因?yàn)椋?0，300）、（50，200）、（60，100）滿足此解析式，
所以銷售量（y件）與銷售單價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+700，
，設(shè)該廠試銷該小鏡子每天獲得的利潤是W元，
依題意得W=（x-12）（-10x+700）=-10x²+820x-8400=-10（x-41）²+8410
因?yàn)閍=-10＜0，
所以當(dāng)x=41時(shí)，W有最大值8410，
所以，當(dāng)銷售單價(jià)定為41元∕個(gè)時(shí)，該廠試銷小鏡子每天獲得的利潤最大，最大利潤是8410元；

（2）每天7200元的利潤時(shí)，-10（x-41）²+8410=7200，解得x₁=30，x₂=52，
因?yàn)檫@種工藝品的銷售單價(jià)不能高于36元，
所以要獲得每天不低于7200元的利潤，則30≤x≤36，
而當(dāng)30≤x≤36，y隨x的增大而減小，
所以當(dāng)x=36時(shí)，y最小值=-10×36+700=340，
所以每月制造出這種商品的最低制造成本=340×12×30=12240元．
答：每月制造出這種商品的最低制造成本需要1.2240萬元．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．