Question

14．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點H．給出下列結(jié)論：
①△BDE∽△DPE；②$\frac{FP}{PH}$=$\frac{3}{5}$；③DP²=PH•PB；④tan∠DBE=2-$\sqrt{3}$．
其中正確的是（　�。�

• A． ①②③④
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，得到∠PCD=30°，于是得到∠CPD=∠CDP=75°，證得∠EDP=∠PBD=15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正確由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到$\frac{PF}{PH}=\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$故②錯誤；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到$\frac{PD}{CD}=\frac{PH}{PD}$，PB=CD，等量代換得到PD²=PH•PB，故③正確；過P作PM⊥CD，PN⊥BC，設(shè)正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，由平行線的性質(zhì)得到∠EDP=∠DPM，等量代換得到∠DBE=∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=$\frac{DM}{PM}$=$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$=2-$\sqrt{3}$，故④正確．

解答 解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正確；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴$\frac{PF}{PH}$=$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故②錯誤；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴$\frac{PD}{CD}$=$\frac{PH}{PD}$，
∴PD²=PH•CD，
∵PB=CD，
∴PD²=PH•PB，故③正確；
如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，
設(shè)正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM=$\frac{DM}{PM}$=$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$=2-$\sqrt{3}$，故④正確；
故答案為：①③④．

點評 本題考查的正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，等積變換，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PM及PN的長．