Question

（2005•長春）如圖1所示，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度運動，同時點P從點A出發(fā)做勻速運動，沿矩形ABCD的邊經(jīng)過點B到達點C，用了14秒．

（1）求矩形ABCD的周長．
（2）如圖2所示，圖形運動到第5秒時，求點P的坐標(biāo)．
（3）設(shè)矩形運動的時間為t，當(dāng)0≤t≤6時，點P所經(jīng)過的路線是一條線段，請求出線段所在直線的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)點P在線段AB或BC上運動時，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，AD=8，B點在y=x上，則y=6，即B點坐標(biāo)為（8，6），AB=6，可求得矩形的周長為28．
（2）由（1）可知AB+BC=14，點P的速度為每秒1個單位．可求得D點坐標(biāo)為（4，3），點P坐標(biāo)為（12，8）；
（3）設(shè)線段所在直線為y=kx+b，把點（8，0），（12，8），代入解析式利用待定系數(shù)法求解得：函數(shù)關(guān)系式為y=2x-16；
（4）①當(dāng)點P在AB邊運動時，即0≤t≤6，點D的坐標(biāo)表示為，點P的坐標(biāo)為（8+t，），根據(jù)相似三角形的相似比，解得t=6；當(dāng)點P與點B重合，此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形．則根據(jù)相似三角形的相似比可解得t=20，因為20＞6，所以此時點P不在AB邊上，舍去．②當(dāng)點P在BC邊運動時，即6≤t≤14，則點D的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為（14-t，t+6）
同樣利用三角形的相似比可求得，因為，此時點P不在BC邊上，舍去．
綜合可知，當(dāng)t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
解答：解：（1）AD=8，B點在y=x上，則y=6，B點坐標(biāo)為（8，6），AB=6，矩形的周長為28．

（2）由（1）可知AB+BC=14，P點走過AB、BC的時間為14秒，因此點P的速度為每秒1個單位．
∵矩形沿DB方向以每秒1個單位長運動，出發(fā)5秒后，OD=5，此時D點坐標(biāo)為（4，3），
同時點P沿AB方向運動了5個單位，則點P坐標(biāo)為（12，8）．

（3）點P運動前的位置為（8，0），5秒后運動到（12，8），
已知它運動路線是一條線段，設(shè)線段所在直線為y=kx+b
∴，
解得：
函數(shù)關(guān)系式為y=2x-16．

（4）方法一：①當(dāng)點P在AB邊運動時，即0≤t≤6，
點D的坐標(biāo)為，
∴點P的坐標(biāo)為（8+t，）．
若，則，解得t=6．
當(dāng)t=6時，點P與點B重合，此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
若，則，
解得t=20．
因為20＞6，所以此時點P不在AB邊上，舍去．
②當(dāng)點P在BC邊運動時，即6≤t≤14，
點D的坐標(biāo)為，
∴點P的坐標(biāo)為（14-t，t+6）．
若，則，
解得t=6．
因為＜14，此時點P不在BC邊上，舍去．
綜上，當(dāng)t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．

方法二：當(dāng)點P在AB上沒有到達點B時，，更不能等于．
則點P在AB上沒到達點B時，兩個矩形不能構(gòu)成相似形
當(dāng)點P到達點B時，矩形PEOF與矩形BADC是位似形，此時t=6．
當(dāng)點P越過點B在BC上時，
若時，由點P在BC上時，坐標(biāo)為：
（14-t，t+6），（6≤t≤14），
，
解得t=，但＜14．
因此當(dāng)P在BC上（不包括B點）時，矩形PEOF與矩形BCDA不相似．
綜上，當(dāng)t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．