Question

如圖，點(diǎn)E、F分別為正方形ABCD中AB、BC邊的中點(diǎn)，連接AF、DE相交于點(diǎn)G，連接CG，則cos∠CGD=（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2 5

  5

• D、

  5

  5

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠B=∠BAD=90°，再求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠BFA，再求出∠AGE=90°，從而得到AF⊥DE，取AD的中點(diǎn)H，連接CH，再判斷出CH垂直平分DG，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CD=CG，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CGD=∠CDG，再求出∠CGD=∠AED，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，求出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∵E、F分別為AB、BC邊的中點(diǎn)，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，

AB=AD ∠B=∠BAD=90° AE=BF

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BFA，
∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中點(diǎn)H，連接CH，
因?yàn)镠是AD的中點(diǎn)，CH∥AF，
設(shè)CH與DG相交于點(diǎn)M，則MH是三角形ADG的中位線，
所以DM=GM，
所以CH垂直平分DG，
∴CD=CG，
∴∠CGD=∠CDG，
∵AB∥CD，
∴∠CGD=∠AED，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則AE=a，
由勾股定理得，DE=

AE2+AD2

=

a2+(2a)2

=

5

a，
∴cos∠AED=

AE

DE

=

a

5 a

=

5

5

，
∴cos∠CGD=cos∠AED=

5

5

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線把∠CGD轉(zhuǎn)化為∠AED是解題的關(guān)鍵．