Question

（2013•道外區(qū)三模）如圖．在△ABC中，C=90°，D、E分別在AB，AC上．將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，連接A′B，A′D，且A′B⊥A′D，若DE=1．則DB=

4

．

Answer 1

分析：△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，△ACB∽△AED，A′為CE的中點(diǎn)，所以，可運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出BC=3，證△CBA′∽△EAD，求出CA′、AE、A′E，根據(jù)勾股定理求出A′B、A′D，最后根據(jù)勾股定理求出BD即可．．

解答：解：∵△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC，
∴△ACB∽△AED，
又A′為CE的中點(diǎn)，
∴AE=A'E=A'C=

1

3

AC，
∴

DE

BC

=

AE

AC

，
即

1

BC

=

1

3

，
∴BC=3，
∵BA′⊥AD，
∴∠BA′D=∠C=90°，
∴∠A+∠BAC=∠A′BA+∠BDA′=90°，
∵∠ABC=∠CBA′+∠A′BA，∠BDA′=∠A+∠DA′A=2∠A，
∴∠CBA′+∠A′BA+∠A=∠A′BA+2∠A=90°，
∴∠A=∠CBA′，
∵∠C=∠DEA=90°，
∴△DEA∽△BCA，
∴

DE

CA′

=

AE

BC

，
∴

1

CA′

=

CA′

3

，
∴CA′=

3

=A′E=AE，
在Rt△BCA′，中，由勾股定理得：BA′=

32+( 3 )2

=2

3

，
在Rt△A′ED中，由勾股定理得：A′D=

12+( 3 )2

=2，
∴在Rt△BA′D中，由勾股定理得：BD=

22+(2 3 )2

=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查了翻折變換和相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換后的圖形全等及兩三角形相似的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出A′D，BA′的長．