【題目】如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)(點(diǎn)P、Q不與點(diǎn)D重合),點(diǎn)P沿D→A以1cm/s的速度向中點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿D→B→D以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).回到點(diǎn)D停止.以PQ為邊在AB上方作正方形PQMN,設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分的面積為S(cm2),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)點(diǎn)N在邊AC上時(shí),求t的值.

(2)用含t的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng).

(3)當(dāng)點(diǎn)Q沿D→B運(yùn)動(dòng),正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是五邊形時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)直接寫(xiě)出正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)t的取值范圍.

【答案】1 ;(23t4-t;3t時(shí),S=t2+10t2; t1時(shí), S=t2+6t;(40tt=

【解析】試題分析:1)由已知得出AD=BD=AB=2,由正方形的性質(zhì)得出PN=MN=MQ=PQ=3t,APN=QPN=PQM=NMQ=MNP=90°,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=B=45°,求出∠ANP=A=45°,得出AP=PN,即可得出答案;

(2)分兩種情況:①當(dāng)0<t≤1時(shí),PQ=3t;②當(dāng)1<t<2時(shí),BQ=2t-2,求出DQ=4-2t,得出PQ=PD+DQ=4-t;

3)分兩種情況:①當(dāng)時(shí),QF=BQ=2-2t,ME=MF=5t-2,由正方形分面積減去等腰直角三角形的面積,即可得出答案;

②當(dāng)≤t<1時(shí),PG=AP=2-tHQ=BQ=2-2t,由勾股定理得出AC=BC= ,由大等腰直角三角形的面積減去兩個(gè)小等腰直角三角形的面積,即可得出答案;

4)分兩種情況:①0<t≤;AP=BQ,BQ=2t-2,AP=2-t,解方程求出即可.

解:(1)如圖①所示:

AB=4,點(diǎn)DAB的中點(diǎn),

AD=BD=AB=2,

∵四邊形ABCD是正方形,

PN=MN=MQ=PQ=3t,APN=QPN=PQM=NMQ=MNP=90°,

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠A=B=45°,

∴∠ANP=A=45°,

AP=PN,

2﹣t=3t,

t=;

(2)分兩種情況:

①當(dāng)0t1時(shí),PQ=3t;

②當(dāng)1t2時(shí),BQ=2t﹣2,

DQ=2﹣(2t﹣2)=4﹣2t,

PQ=PD+DQ=4﹣t;

(3)分兩種情況:

①當(dāng)t時(shí),如圖②所示:

QF=BQ=2﹣2t,ME=MF=3t﹣(2﹣2t)=5t﹣2,

S=(3t)2(5t﹣2)2=﹣t2+10t﹣2;

②當(dāng)t1時(shí),如圖③所示:

PG=AP=2﹣t,HQ=BQ=2﹣2t,

AC=BC=AB=2,

S=×(22×(2﹣t)2×(2﹣2t)2=﹣t2+6t;

(4)分兩種情況:

①如圖④所示:此時(shí)0t;

②如圖⑤所示:

此時(shí)AP=BQ,BQ=2t﹣2,AP=2﹣t,

2﹣t=2t﹣2,

解得:t=;

綜上所述:正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)t的取值范圍為0tt=

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3)如圖2,已知直線y=x分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn),點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Qy軸的平行線,交直線CF于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上,連接QE.問(wèn):以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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星期

增減

1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)自行車(chē)__________輛.

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分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)

百分比

38

0.38

0.32

10

0.1

合計(jì)

100

1

書(shū)法作品比賽成績(jī)頻數(shù)直方圖

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