Question

課本中有一道作業(yè)題：
有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？
小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．
（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．
（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

Answer 1

考點：相似三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值

專題：幾何綜合題

分析：（1）設(shè)PN=2y（mm），則PQ=y（mm），然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（2）設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）設(shè)矩形的邊長PN=2y（mm），則PQ=y（mm），由條件可得△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

2y

120

=

80-y

80

，
解得y=

240

7

，
∴PN=

240

7

×2=

480

7

（mm），
答：這個矩形零件的兩條邊長分別為

240

7

mm，

480

7

mm；

（2）設(shè)PN=x（mm），矩形PQMN的面積為S（mm²），
由條件可得△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

120

=

80-PQ

80

，
解得PQ=80-

2

3

x．
∴S=PN•PQ=x（80-

2

3

x）=-

2

3

x²+80x=-

2

3

（x-60）²+2400，
∴S的最大值為2400mm²，此時PN=60mm，PQ=80-

2

3

×60=40（mm）．

點評：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此題規(guī)律性較強，是道好題．