Question

正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，

（1）證明：Rt△ABM ∽R(shí)t△MCN；

（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM ∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值.

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90°

∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN

∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN

（2）∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，∴即解得：

∵     ∴,

 即：

又∵

∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值10.

∴當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積是10.

（3）∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，∴，即

化簡(jiǎn)得：，解得：x=2

∴當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)Rt△ABM ∽R(shí)t△AMN，此時(shí)x的值為2.