Question

已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=（k-1）x²-2kx+k+2的圖象與x軸有交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，且有k²-k=2．
①求k的值；
②作出該函數(shù)的草圖，并結(jié)合函數(shù)圖象寫出當k≤x≤k+2時y的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的圖象

專題：計算題

分析：（1）分k=1與k≠1兩種情況考慮：當k=0時，函數(shù)y=-2x+3與x軸有交點；當k≠1時，根據(jù)函數(shù)與x有交點，得到根的判別式的值大于等于0，即可確定出k的范圍；
（2）①根據(jù)k²-k=2及k的范圍，確定出k的值即可；
②根據(jù)k的值確定出x的范圍，根據(jù)二次函數(shù)圖象即可確定出y的范圍．

解答：解：（1）當k=1時，y=-2x+3與x軸有交點，滿足題意；
當k≠1時，根據(jù)題意得：4k²-4（k-1）（k+2）≥0，
整理得：-4k+8≥0，
解得：k≤2，
綜上，k的取值范圍為k≤2；

（2）①由函數(shù)與x軸有兩個交點，得到k＜2且k≠1，
k²-k=2變形得：（k-2）（k+1）=0，
解得：k=2（不合題意，舍去）或k=-1，
則k的值為-1；
②做出函數(shù)圖象，如圖所示，
將k=-1代入得：y=-2x²+2x+1=-2（x-

1

2

）²+

3

2

，
且-1≤x≤1，
根據(jù)圖形得：-3≤y≤

3

2

．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，以及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．