Question

（2012•槐蔭區(qū)一模）如圖所示，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，-3）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，且DC=DE，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在直線DE上存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似，請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，m），作EF⊥y軸于點(diǎn)F，利用勾股定理列式表示出DC²與DE²，然后解方程求出m的值，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)判定△COD和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)度，然后①分OC與CD是對(duì)應(yīng)邊；②OC與DP是對(duì)應(yīng)邊；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DP的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，再分點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊與右邊兩種情況，分別求出DG、PG的長(zhǎng)度，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（0，-3），
∴

1-b+c=0 c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

，
故拋物線的函數(shù)解析式為y=x²-2x-3；

（2）令x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，-4），
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，m），作EF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵DC²=OD²+OC²=m²+3²，DE²=DF²+EF²=（m+4）²+1²，
∵DC=DE，
∴m²+9=m²+8m+16+1，
解得m=-1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1）；

（3）∵點(diǎn)C（3，0），D（0，-1），E（1，-4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根據(jù)勾股定理，CD=

OC2+OD2

=

32+12

=

10

，
在△COD和△DFE中，
∵

CO=DF ∠COD=∠DFE=90° DO=EF

，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°-90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
∵△DOC∽△PDC，
∴

OC

DC

=

OD

DP

，
即

3

10

=

1

DP

，
解得DP=

10

3

，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，
則

DG

DF

=

PG

EF

=

DP

DE

，
即

DG

3

=

PG

1

=

10 3

10

，
解得DG=1，PG=

1

3

，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OG=DG-DO=1-1=0，
所以點(diǎn)P（-

1

3

，0），
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，點(diǎn)P（

1

3

，-2）；
②OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
∵△DOC∽△CDP，
∴

OC

DP

=

OD

DC

，
即

3

DP

=

1

10

，
解得DP=3

10

，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，
則

DG

DF

=

PG

EF

=

DP

DE

，
即

DG

3

=

PG

1

=

3 10

10

，
解得DG=9，PG=3，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OG=DG-OD=9-1=8，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3，8），
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，-10），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，其坐標(biāo)分別為（-

1

3

，0）、（

1

3

，-2）、（-3，8）、（3，-10）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（3）題稍微復(fù)雜，一定要注意分相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的不同，點(diǎn)P在點(diǎn)D的左右兩邊的情況討論求解．