Question

11．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH上的中點(diǎn)，求證：MA⊥BC．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AM到N使MN=AM，如圖，先證明△AMF≌△NMB得到∠MAF=∠N，AF=NH，再證明∠BAC=∠AHN，接著證明△ABC≌△HNA得到∠ACB=∠HAN，然后證明∠ADC=90°，從而得到結(jié)論．

解答 證明：延長(zhǎng)AM到N使MN=AM，如圖，
∵M(jìn)為FH上的中點(diǎn)，
∴FM=HM，
在△AMF和△NMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=NM}\\{∠AMF=∠NMH}\\{FM=HM}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△NMB，
∴∠MAF=∠N，AF=NH，
∵四邊形ABEF和四邊形ACGH為正方形，
∴AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
∴∠FAH+∠BAC=180°，HN=AB，
∴∠N+∠NAH+∠BAC=180°，
∵∠N+∠NAH+∠AHN=180°，
∴∠BAC=∠AHN，
在△ABC和△HNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=HN}\\{∠BAC=∠BHA}\\{AC=HA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△HNA，
∴∠ACB=∠HAN，
∵∠HAN+∠CAD=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造△AHN與△CBA全等．